統計学輪講 第16回

オプションとは金融商品（原資産）を売買できる権利のことである。原資産（例えば株や債券）の価格に連動する金融派生商品（Derivatives）の一つであり、社会に潜在する様々なリスクに応じてリスクを管理することができる。ただしオプションは原資産と違い、価格がすぐ分かるものではない。そこで、連動する原資産の価格を確率過程に従うと仮定し、オプションの理論価格を計算しようとする。

　最も基礎的な原資産の確率過程である幾何ブラウン運動（Geometric Brownian Motion; GBM）では、ドリフト項およびボラティリティ項があり、なおかつ金利、ドリフト率およびボラティリティが定数だと仮定されている。この場合のオプション価格（解析解）はBlack-Scholesの公式から求められる。公式の導出は確率微分方程式を解くことか、Feynman-Kacの公式を使うこと等によってでき、それほど複雑ではない。

　しかし、さらに原資産の価格の急激な変動を表すジャンプを確率過程に入れると、従来な方法では導出がかなり複雑になってくる。そこで、[1]では確率微分方程式を解くことやフーリエ変換を行うことの代わりに、モーメント母関数を用い、測度変換を行い、そしてある方程式を解くことによって、Merton Jumpモデルをはじめとして様々なジャンプを含むLévy過程のモデルの解析解をより簡潔に求める手法を提案した。

本講演では下記の論文を紹介する。
[1] Cheang, G. H. L. (2004). A simple approach to pricing options with jumps. Social Science Research Network (SSRN).