統計学輪講 第15回

レプリカ法（replica method）は、ランダムな相互作用をもつ多数の自由度からなる系の典型的な性質を解析するため、スピングラスの研究において発展した統計物理学の手法である。ランダム性に関する平均を含む自由エネルギーの計算は一般に困難であるが、系の複製（レプリカ）を導入することで、その計算をより扱いやすい形に変換できる。レプリカ法は物理学にとどまらず、機械学習や高次元統計など、ランダム性を伴う数理的問題にも応用されている。

本発表では、レプリカ法の基本的な考え方とスピングラスにおける物理的背景を概説したのち、その数理への応用例をAdvani et al. [1]にならって紹介する。具体的には、パーセプトロンの学習問題に適用し、学習可能なデータ数の限界を解析する方法を説明する。さらに、ランダム行列の固有値分布の解析にレプリカ法を適用し、高次元データの標本共分散行列に現れるMarčenko–Pastur分布を導出する方法を紹介する。

[1] M. Advani, S. Lahiri, and S. Ganguli, Statistical mechanics of complex neural systems and high dimensional data, J. Stat. Mech. (2013) P03014.